Rentedannelsen

Hvor kommer renter fra – og hvorfor bevæger de sig?

Niklas Lehmann Jensen

Introduktion

Læringsmål

  • Forstå hvordan renten dannes gennem udbud, efterspørgsel og pengepolitik
  • Skelne mellem nominel rente, realrente og effektiv rente (debitorrente)
  • Kunne forklare hvordan inflation og internationale forhold påvirker renten
  • Beregne og fortolke NPV og se, hvordan små renteændringer ændrer investeringers værdi
  • Anvende og sammenligne forskellige rentesatser via omregning og debitorrenten

Hvad er renter, og hvorfor findes de?

  • Renter kan anskues på mange måder:
    • “Prisen på penge”
    • Gevinsten ved at udskyde forbrug og opspare
    • Omkostningen ved at forbruge tidligere gennem lån
  • Renten bestemmes af udbuds- og efterspørgselskræfter på kapitalmarkedet
  • Der findes forskellige renter – ikke blot én!
  • Renten driver prisfastsættelsen af alle finansielle instrumenter
  • Renten fungerer som et (næsten) risikofrit alternativ, som andre aktiver prissættes i forhold til
  • Alt andet lige: En aktie med en given betalingsstrøm vil falde i pris, hvis renten stiger

Rentebegreber

Centrale begreber

  • Realrente: Kompenserer for den nytte, man går glip af ved at udsætte sit forbrug
  • Nominel rente: Kompenserer både for udskydelse af forbrug og for prisstigninger (inflation)
  • Rentestruktur: Viser hvordan renter varierer på tværs af løbetider – dvs. sammenhængen mellem renteniveau og lånets løbetid
  • Pålydende rente: Den officielle rente, der står angivet på lånet eller obligationen
  • Direkte rente: Den rente, der beregnes ud fra obligationens pris (kurs)
  • Effektiv rente: Tager højde for renters rente-effekter samt kursgevinster/tab

Direkte rente – eksempel

Beregning

  • Direkte rente: \(\frac{\text{Kuponrente}}{\text{Købekurs}} \times 100\%\)
  • Eksempel 1: køb til kurs 80
    $ = 7,50% $
  • Eksempel 2: køb til kurs 109
    $ = 5,50% $
  • Potentiel kursgevinst: \(100 - 80 = 20\) kurspoint
  • Potentielt kurstab: \(109 - 100 = 9\) kurspoint

Lånekapital: udbud & efterspørgsel

Rentedannelsen på kredit- og lånemarkedet

  • Renten dannes på kredit- og lånemarkedet gennem udbud og efterspørgsel
  • Udbud: privat opsparing fra husholdninger og virksomheder, kanaliseret via banker
  • Efterspørgsel: lån til bolig, investeringer mv.
  • Ligevægtsrenten \(r^{*}\): renten, hvor efterspørgslen efter lån matcher udbuddet af opsparing

Rentedannelsen på kredit- og lånemarkedet

Kreditmarked

Strukturelle forhold bag r*

  • Lønstigninger → højere indkomst giver øget låneefterspørgsel
  • Mindre konkurrence i banksektoren → færre banker medfører lavere kreditudbud
  • Ligevægtsrenten kan ikke observeres direkte, men forstås som et langsigtet renteniveau man driver mod

Inflation og rente

Fisher-sammenhængen

  • Fisher-ligningen er givet igennem: \(R \approx r + \pi\)
    • “Prisen på penge”
    • \(r\): realrente
    • \(\pi\): forventet inflation
  • Inflation måler prisstigninger i økonomien
  • Hvis den nominelle rente er lavere end inflationen → negativ realrente og tab af købekraft
  • Man ønsker derfor en positiv realrente på sin investering

Grafisk illustration

Inflation og rente

Åben økonomi

  • I en lille åben økonomi som Danmark bestemmes renten også af verdensmarkedet: \(R_{\mathrm{DK}} = R_{w} + (\pi_{\mathrm{DK}} - \pi_{w})\)
    • \(R_{\mathrm{DK}}\): dansk nominel rente
    • \(R_{w}\): verdensrente (ofte proxied ved Tyskland/USA)
    • \(\pi_{\mathrm{DK}} - \pi_{w}\): inflationsforskel mellem DK og udlandet
  • Dansk rente følger både de globale renter og forskellen i inflation.
  • Stigning i \(R_{w}\) → dansk rente stiger 1:1
  • Stigning i inflationsforskellen \((\pi_{\mathrm{DK}} - \pi_{w})\) → dansk rente stiger tilsvarende

Pengepolitik og rentedannelse

Centralbankens rolle og likviditetseffekten

  • Nationalbanken kan føre pengepolitik, som hurtigt påvirker renteniveauet gennem ændringer i likviditeten
  • Likviditetseffekten på kort sigt:
    • X-aksen skiftes til pengemængde frem for lån
    • Udbuddet af penge er fast → derfor en lodret kurve
    • Centralbanken kan flytte kurven som ønsket
    • NB: Dette er ikke realrenten men den korte rente


Centralbankens rolle og likviditetseffekten: Grafisk

Rente og pengepolitik

Langsigtet neutralitet

  • Højere aktivitet fra lavere rente driver på sigt priser og lønninger op
  • Realrenten vender tilbage til sit oprindelige niveau
  • En 1 %-point stigning i pengemængden neutraliseres langsigtet af inflation
  • Kan illustreres med kvantitetsligningen \(\Delta m = \Delta p + \Delta q\)

Institutionelle forhold for rentedannelsen i Danmark

Nationalbanken

  • Fastlægger pengepolitikken (forankret i fastkurspolitikken)
  • Instrumenter: foliorenten, udlånsrenten og OMO
  • Kan styre rentestrukturens form ved at påvirke korte og lange renter
    • Hæves den korte rente → øget efterspørgsel efter DKK → rentekurven kan blive twistet/inverteret
    • Via OMO kan de også skubbe de lange renter op/ned og forstærke twisten
  • Udover fastkurspolitikken har Nationalbanken ansvar for at vedligeholde valutareserven til strategiske formål
    • Eksempel: COVID-19 → “flight to safety”

Twist af rentekurven

Likviditet og rentestruktur

Staten

  • Påvirker renter via udstedelse af statsgæld
  • Før 1990’erne: store underskud → flere nye statsobligationer → pres op på renterne
  • I dag: overskud på de offentlige finanser → bidrager til lave renter
  • Direkte effekt: flere statsobligationer til salg → lavere obligationskurser → højere lange renter
  • Indirekte effekt: store statslige ind- og udbetalinger påvirker den daglige likviditet i banksystemet → påvirker korte renter

Udlandet

  • Danmark er en lille, åben økonomi i en global kapitalmarkedsstruktur
  • Kapital er meget mobil – især mellem vestlige lande
  • Danske renter påvirkes derfor i høj grad af internationale bevægelser i renter og kapitalstrømme

Renten og investeringer

Betydning for investeringer

  • Renten er afgørende for værdiansættelsen af fremtidige pengestrømme
  • Bruges som diskonteringsfaktor i nutidsberegninger
  • Selv små renteændringer kan ændre prisen på et aktiv markant
  • Derfor bruger centralbanker renten som redskab til at påvirke konjunkturer
    • Finanskrisen er et godt eksempel

Nutidsværdiberegning (NPV)

  • Eksempel: investering på 10 mio. kr., indbetalinger på 3 mio. kr. årligt i 4 år

  • Ved 5 % rente:
    \[ \text{NPV}_{5\%} = -10 + \sum_{t=1}^{4} \frac{3}{1.05^t} = 0{,}64 \] mio. kr.

  • Ved 9 % rente:
    \[ \text{NPV}_{9\%} = -10 + \sum_{t=1}^{4} \frac{3}{1.09^t} = -0{,}28 \] mio. kr.

  • Små ændringer i renten kan afgøre, om en investering er profitabel eller ej

Sammenligning af rentesatser og debitorrenten

Hvorfor sammenligne?

  • Rentesatser opgives ofte som p.a. men med forskellig tilskrivningsfrekvens
  • For et retvisende sammenligningsgrundlag →
    • omregn til samme frekvens
    • eller til debitorrenten (effektiv årlig rente)

Omregning mellem frekvenser

Nominel rente \(r_m\) med \(m\) tilskrivninger, og \(r_n\) med \(n\) tilskrivninger:

\[ \Bigl(1+\tfrac{r_n}{n}\Bigr)^{n} = \Bigl(1+\tfrac{r_m}{m}\Bigr)^{m} \]

Heraf:

\[ r_n = n\Bigl[\Bigl(1+\tfrac{r_m}{m}\Bigr)^{m/n} - 1\Bigr] \]

Debitorrenten (effektiv årlig rente, \(n=1\))

For \(r_m\) med \(m\) tilskrivninger:

\[ \text{Debitorrente} = \Bigl(1+\tfrac{r_m}{m}\Bigr)^m - 1 \]

  • Altid ≥ den nominelle rente (\(m \ge 1\))
  • Inkluderer rente-på-rente effekten

Eksempel: Beregning af debitorrenten

  • Nominel rente: 24 % p.a.

  • Månedlig tilskrivning (\(m=12\))

  • Formel for debitorrenten:
    \[ \text{Debitorrente} = \left(1+\frac{r_m}{m}\right)^m - 1 \]

  • Indsæt \(r_m = 24\%\) og \(m=12\):
    \[ \left(1+\frac{0,24}{12}\right)^{12} - 1 = (1+0,02)^{12} - 1 \approx 0,2682 \]

  • Den effektive årlige rente (debitorrenten) er altså ca. 26,82 %, hvilket er højere end den nominelle rente på 24 % p.a.

Eksempel: Fra debitorrente til nominel rente

Kendes debitorrenten og antallet af terminer \(m\), kan \(r_m\) findes: \[ r_m = m\Bigl[(1+\text{Debitorrente})^{1/m} - 1\Bigr] \] - Indsæt Debitorrente = 26,82 % og \(m=12\):
\[ r_{12} = 12\Bigl[(1+0,2682)^{1/12} - 1\Bigr] \] \[ \approx 12 \cdot 0,02 = 24\% \] - Den nominelle rente med månedlig tilskrivning er altså 24 % p.a. #### Praktisk brug {background=“#43464B”} Når satser sammenlignes:
- Omregn til samme frekvens eller
- til debitorrenten

  • Sikrer fair sammenligning på tværs af lån og investeringer

Opsummering

Takeaways

  • Renten er prisen på penge → afgørende for investeringer, lån og værdiansættelse
  • Realrente = nominel rente minus inflation → det reelle afkast
  • Rentedannelsen bestemmes af udbud & efterspørgsel, pengepolitik og internationale forhold
  • Små renteændringer kan markant ændre nutidsværdien (NPV) af investeringer
  • Nominelle renter med forskellig tilskrivningsfrekvens skal omregnes → brug debitorrenten som fælles mål
  • Debitorrenten (effektiv årlig rente) er altid ≥ nominel rente pga. rente-på-rente-effekten
  • Praktisk: sammenlign altid lån/investeringer på samme grundlag (samme frekvens eller via debitorrente)